第229章 蛮星之主一（第6页）

f（x）=∫f（x）δ（x-x'）dx'=∫δ（x-x'）f（x）dx'

认识到积分是内积，这与下式相同

方程18:

f（x）=＜δx，f＞

其中我使用δ_x作为位置x的delta函数的简写。

由于f（x）类似于在位置x的f的“分量”，与位于x处的delta函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置x处的值或分量，就像3D空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。我们介绍了关于delta函数的两种思考方式：

?它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以1的角色。换句话说，delta函数有点像1。

?在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ（x-x'）相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f（x）。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。就比如狭义相对论中的洛伦兹变换？

对于实变量上的函数：

方程19:＜f，h＞=∫±∞f（x）h（x）dx

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程6）。

L?G（x，x'）=δ（x-x'）

或者如果算子是自伴随的：

LG（x，x'）=δ（x-x'）

如果δ函数类似于1或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子L的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu（x）=f（x）

如果格林函数类似于L的逆，如果乘以G，即与格林函数取内积，则可以“撤销”L的作用并求解u。

方程20:

＜G，Lu＞=＜G，f＞

根据伴随的定义（方程7），我们可以将L作用于u替换为L的伴随作用于G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

方程21:

＜G，Lu＞=＜L?G，u＞=（δx，u）=U（x）

对于右手边：

方程22:U（x）=＜G，f＞=∫G（x，x'）f（x）'dx

就是这样。如果格林函数G，我们通过与源函数f取积分来求解u，类似于用L的逆乘以f。

方程23:

G∽L^-1

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于G的“操作性”思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x'G（x，x'）格林函数似乎是一种将x'处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程22的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果G（x，x′）=G（x–x′），它将是精确的。事实证明，如果线性算子L具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

方程24:

U（x）=∫G（x-x'）f（x'）dx=G*f