第229章 蛮星之主一（第4页）

它们是将两个函数“混合”在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。

我将声称，卷积就像数字的正常乘法。我们可以通过查看一些性质来强调这一点。

?由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：

f×（αg1+βg2）=αf*g1+βf*g2

?此外，它是交换的：

f*g=∫f（x'）g（x-x'dx'=∫f（x-x'）g（x'）dx'=g*f

?和结合的：

f*（g1*g2）=（f*g1）*g2

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就像正常的乘法一样。

此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。

要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。

然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的a^（?1），使得a×a^（?1）=1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。

但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道f（x）×1=f（x），对任何f都成立，但哪个函数I（x）满足：f（x）*I（x）=f（x）？

δ函数的筛选性质（方程11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像1。

这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取1的逆傅里叶变换：

方程13:

δ（x-x'）=2π^-1∫-∞∞e^iω（x-x'）dω=2π^-1∫-∞∞1*e^iω（x-x'）dω

卷积和内积

在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。

例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。

使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波

对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能（反卷积是图像处理中的一个老话题），在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。

虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。

方程14:

是的，内积（InnerProduct）是三维空间中常规向量点积（DotProduct）的一种概括。在数学中，内积是一个定义在向量空间上的函数，它赋予两个向量一个标量值，并且满足一定的性质。在三维欧几里得空间中，内积通常指的是点积，但在更一般的向量空间中，内积的概念被扩展以适应不同的几何和代数结构。

三维空间中的点积定义如下：给定两个向量a=[a1，a2，a3]和b=[b1，b2，b3]，它们的点积（记作a·b）定义为：

a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3

点积有以下性质：

交换律：a·b=b·a

分配律：a·（b+c）=a·b+a·c

结合律：（ka）·b=a·（kb）=k（a·b），其中k是标量

正定性：a·a≥0，且a·a=0当且仅当a=0

在更一般的向量空间中，内积的定义需要满足以下公理：

对称性：?a，b?=?b，a?

线性性：?ka，b?=k?a，b?和?a+b，c?=?a，c?+?b，c?

正定性：?a，a?≥0，且?a，a?=0当且仅当a=0

在不同的向量空间中，内积的具体表达式可能会有所不同，但它总是保留了这些基本的代数和几何性质。例如，在复数向量空间中，内积可能包含共轭操作；在无穷维函数空间中，内积可能是两个函数的积分乘积。

总之，内积是点积的概括，它不仅适用于三维欧几里得空间，还适用于更广泛的数学和物理问题中。内积的概念在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有重要应用。